Фамилия Азгельдян — почти наверняка армянская, и её разумно начать с разбора финального компонента. Суффикс -ян (в старой орфографии -янц) — один из главных маркеров армянских фамилий, образованных по модели «сын такого-то» или «принадлежащий к роду такого-то». Это аналог русских -ов/-ев или грузинских -дзе. Встречается у армян повсеместно, но особенно част у выходцев из Западной Армении (исторические области в пределах современной Турции) и у переселенцев, уходивших от геноцида начала XX века.

Основа Азгельд — сложная и редкая. Первая часть, скорее всего, восходит к армянскому «азг» (ազգ) — «народ», «нация», «род», «племя». В армянских именах и прозвищах этот корень не редкость: он формирует слова со значением «родовой», «племенной», «относящийся к своему народу». Вторая часть, -ельд, может быть искажённым «елд» (ելդ) — устаревшее или диалектное слово, означающее «выход», «исход», «потомство». Либо это вариант корня «гелд» или «келд», который в диалектах мог означать «приходить», «являться». Тогда Азгельдян можно интерпретировать как «происходящий из народа», «рождённый от рода».

Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркскими языками, с которыми армяне долго соседствовали. Слово «азгыль» в некоторых тюркских наречиях значит «сварливый», «вздорный», а суффикс -ян мог прикрепиться к такому прозвищу после переселения носителя в армянскую среду. Но эта гипотеза слабее: армянское происхождение основы «азг» выглядит естественнее, и для тюркской этимологии нет убедительных параллелей в фамилиях.

По географии фамилия редкая, встречается в основном среди армянской диаспоры — в России (в Краснодарском крае, Ростовской области, Москве), а также в Армении и у выходцев из исторической Западной Армении (районы Вана, Эрзурума). В дореволюционных метрических книгах и переписях её почти нет, что типично для фамилий, закреплённых в письменном виде только в XX веке — после паспортизации в СССР или при эмиграции.

Точного значения без привязки к конкретному роду не восстановить, но наиболее правдоподобное: «потомок того, кто от рода/народа» или «принадлежащий к народному роду». Носителю фамилии стоит искать корни в армянских говорах — возможно, в семейных преданиях сохранилось, из какого села или области вышли предки.