Фамилия Ажгибесов — один из тех редких случаев, когда прозвище буквально «законсервировалось» в фамилии, сохранив глагольную форму в повелительном наклонении. Основа «ажги» — это диалектный или старый вариант глагола «ожги» (обожги), то есть «обожги беса». Перед нами типичная для русских фамилий модель образования от прозвища-оберега, но с необычным глагольным корнем.

Скорее всего, Ажгибесов — это прозвище-оберег, данное предку с целью отпугнуть нечистую силу. В древнерусской традиции такие «отпугивающие» имена (Некрас, Нелюб, Дурак) давали детям, чтобы злые духи не позарились на ребёнка. Однако здесь прозвище не пассивное, а активное: «ажги беса» — то есть «обожги, прогони черта». Это могло быть и мирским именем, и шутливым прозвищем взрослого человека, который славился крутым нравом или, наоборот, имел дело с огнём — например, был кузнецом или смолокуром.

Суффикс -ов в конце указывает на стандартную русскую патронимическую модель: «чей?» — Ажгибесов, то есть сын или потомок человека по прозвищу Ажгибес. Форма фамилии — притяжательное прилагательное, что типично для большинства русских фамилий, образованных от прозвищ. Написание с буквой «а» в первом слоге (Ажги-, а не Ожги-) — это, скорее всего, результат аканья, характерного для южнорусских и среднерусских говоров: в безударной позиции «о» перешло в «а» и закрепилось на письме.

Географически фамилия редкая и встречается точечно. Основной ареал — юг России и Поволжье, где акающие говоры были нормой. В дореволюционных переписях и метриках следы Ажгибесовых можно найти в Курской, Воронежской, Саратовской губерниях. Фамилия не дворянская и не купеческая — это типичная крестьянская фамилия, образованная от уличного прозвища. Встречается также вариант Ажгибесовых, где ударение падает на последний слог, что тоже характерно для южнорусских фамилий.

Сравните с однокоренными фамилиями: Жгибесов, Ожгибесов, Жгибеда. Все они построены по одной модели — глагол в повелительном наклонении плюс объект действия. Ажгибесов — самый редкий из них, что делает его особенно ценным для историков языка: в нём сохранилась архаичная форма глагола «ажги» (с приставкой «а-», восходящей к древнерусскому «о-»). По сути, это живая иллюстрация того, как в XVII–XVIII веках крестьяне, не знавшие грамоты, «записывали» свои прозвища в церковные книги так, как слышали.