Фамилия Ажгибецев — один из тех редких случаев, когда географию бытования можно поставить в начало разбора. Основной массив носителей исторически сосредоточен на юге России, в частности в казачьих областях: Ростовская область, Краснодарский и Ставропольский края. Это сразу подсказывает, что корни фамилии, скорее всего, не в центральной России, а в диалектной лексике южнорусских и украинских говоров.

В основе фамилии лежит прозвище Ажгибец. Слово составное: первая часть — усилительная частица «аж» (в значении «даже», «аж»), вторая — глагол «гибеть» (гнуть, сгибать, а в переносном смысле — горбиться, кланяться). Прозвище могло означать человека, который «аж гнётся» — либо от непосильной работы, либо от угодливости, либо просто обладающего необычайно гибким телом. В русских говорах «гибец» — тот, кто гнется, сгибается. Отсюда и фамилия, образованная по стандартной патронимической модели: Ажгибец плюс суффикс принадлежности -ев, то есть «сын Ажгибеца».

Суффикс -ев, а не -ов, закономерен: хотя «ц» — твердый согласный, по правилам после него в фамилиях пишется -ев. Фамилия не могла возникнуть от имени, так как «Ажгибей» или «Ажгиб» — неканонические имена. Это стопроцентно прозвищная фамилия, что типично для казачьих фамилий, где меткое слово часто становилось родовым именем.

Встречаются варианты написания через «о» — Ажгибоцев. Это не ошибка, а следствие акающего произношения: в безударной позиции «е» звучало как «о», и писарь на слух фиксировал «Ажгибоцев». Оба варианта однокоренные, но исходным считается именно с «е», так как этимология прозвища через него прозрачнее.

Если говорить о социальном контексте: носители фамилии Ажгибецев — почти поголовно казаки или крестьяне южных губерний. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. Это фамилия простого люда, где прозвище давалось за внешнюю примету или манеру поведения, а не за сословную принадлежность. Исходное прозвище, скорее всего, было насмешливым — так могли окрестить либо непомерно работящего человека, либо, наоборот, чрезмерно угодливого.