Фамилия Ажгибецева — редкий пример того, как прозвище, данное в охранных целях, закрепилось в родовом имени. Она образована от прозвища Ажгибеца, в основе которого лежит диалектное слово «ажгибес» — «нечистый дух», «бес». На первый взгляд такая основа кажется странной для именования человека, но здесь сработал древний суеверный обычай: чтобы уберечь ребёнка от сглаза и злых сил, родители нарочно давали ему «плохое», отпугивающее прозвище. Считалось, что нечисть не тронет того, кто уже назван её именем, — так Ажгибеца получал шанс вырасти здоровым и счастливым.

Словообразовательная модель типична для южнорусских и украинских говоров: суффикс -ец- (Ажгибец-а) указывал на лицо — носителя признака. Со временем прозвище перешло в фамилию через патронимический суффикс -ев- (Ажгибец-ев-а), что характерно для фамилий, образованных от основ на -а или -я. Форма Ажгибецева — женский вариант; мужской — Ажгибецев.

Фамилия крайне редкая. Встречается преимущественно в южных регионах России, где диалектное слово «ажгибес» было в ходу, и среди казачьего населения. В официальных документах XIX — начала XX века она могла фиксироваться с колебаниями в написании: Ажгибецов, Ожгибецев. Исходное слово «ажгибес» восходит к украинскому «аж-ги-біс» (буквально «аж геть біс» — «вон бес»), что подтверждает народное происхождение прозвища.

Таким образом, фамилия Ажгибецева — не просто случайный набор звуков, а отражение народной веры в магию имени. Предки носителей этой фамилии, скорее всего, были простыми крестьянами или казаками, которые следовали старинному обычаю оберегать детей от нечистой силы через имя-оберег.