Фамилия Ажгибицева — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а глагольная форма, причём с яркой эмоциональной окраской. Разбираем её по косточкам.

Корень «ажги» — это искажённое повелительное наклонение от глагола «жечь»: «ажги» вместо литературного «ожги» или «сожги». Такая фонетическая замена (аканье, замена «о» на «а» под ударением) характерна для южнорусских и украинских говоров. Вторая часть — «бицева» — восходит к глаголу «бить» или существительному «бич» (кнут, плеть). Получается конструкция «ажги бича» — «ожги кнутом» или «сожги бичом». Это не имя и не прозвище в привычном смысле, а целая фраза-команда, которая закрепилась за человеком как прозвище.

Как такое прозвище могло появиться? Скорее всего, его дали либо очень вспыльчивому, крутому человеку, который «жёг» и «бил» словом или делом, либо, наоборот, тому, кто постоянно покрикивал «Ажги бича!» — например, погонщику скота, вознице или надсмотрщику. В крестьянской среде прозвища по командам и междометиям — явление известное, но нечастое. Суффикс «-ев» в окончании указывает на притяжательную форму: «чей?» — Ажгибицев, то есть сын или потомок человека по прозвищу Ажгибиц. Женская форма Ажгибицева — это либо жена, либо дочь Ажгибицева.

Поскольку фамилия образована от прозвища-фразы, её носители, скорее всего, происходят из среды простых крестьян или однодворцев (особенно в южных регионах России, где аканье было нормой). В дворянских родах такие «глагольные» фамилии встречаются реже — там предпочитали модели на -ский или от имён. Географически фамилия тяготеет к Курской, Воронежской, Ростовской областям, а также к Украине, где форма «ажги» звучит естественно.

В написании возможны варианты: Ажгибицев (мужская форма), Ажгибицева (женская), реже — Ажгибицов (с заменой «е» на «о» под влиянием говоров). Склоняется по стандартному правилу: Ажгибицева, Ажгибицевой, Ажгибицеву.

Если коротко: предок носителя фамилии был человеком с характером — либо сам «жёг и бил», либо командовал другими. Фамилия — живой слепок народной речи, где команда стала именем.