Фамилия Ажгибкова — женская форма, а её основа, мужская фамилия Ажгибков, восходит к прозвищу Ажгибок. Это яркий образец «глагольных» фамилий, построенных по модели «повелительное наклонение + дополнение». Здесь соединились «ажги» (старинная форма от «ожечь», то есть обжечь) и «бок». Получается «обожги бок» или «жги бок».

Не стоит понимать такое прозвище буквально. Скорее всего, его давали человеку с заметной чертой характера — горячему, вспыльчивому, «острому на язык», от которого можно было «обжечься». Либо прозвище закрепилось за тем, кто однажды обжёг себе бок у печи или получил ожог в драке. В русской ономастике есть целый пласт подобных «командных» фамилий: Держидерево, Убейкобыла, Сорвиголова. Ажгибков стоит в одном ряду с ними и по модели образования, и по выразительности.

Географически фамилия не повсеместна. По архивным записям, её очаг — южнорусские и центральные регионы, особенно Тульская и Рязанская губернии. Там в говорах активно произносили «ажги» с начальным «а», а не с литературным «о» («ожги»). Это ключевая примета: написание через «а» — не ошибка, а диалектная черта, закреплённая в документах. Встречаются варианты Ажгибков и Ажгибковы, но форма с «а» — исторически верная для этого рода.

Суффикс «-ов» указывает на типичную русскую модель образования фамилий по отчеству: Ажгибков — сын Ажгибка. Фамилия возникла не от имени, а от уличного прозвища родоначальника. Сословие носителей, скорее всего, крестьянское или однодворческое — в среде крепостных и государственных крестьян такие бытовые прозвища давали особенно часто. Дворянских корней у этой фамилии, судя по имеющимся данным, нет.