Фамилия Ажгибкова — женская форма фамилии Ажгибков, а та, в свою очередь, образована от прозвища Ажгибок. Это прозвище — яркий пример так называемых «глагольных» фамилий, где в основе лежит повелительное наклонение глагола и дополнение. В данном случае это «ажги» (от «ажечь» — старинная форма глагола «ожечь», то есть обжечь) и «бок». Получается «обожги бок» или «жги бок».

Смысл такого прозвища не стоит понимать буквально. Скорее всего, так в старину могли прозвать человека по какой-то заметной черте характера или поведения. Возможно, это был человек горячий, вспыльчивый, «острый на язык», от которого можно было «обжечься». Или же прозвище дали по случаю: например, человек однажды обжег себе бок у печи или получил ожог в драке. В русской ономастике есть целый пласт подобных «командных» фамилий: Держидерево, Убейкобыла, Сорвиголова. Ажгибков стоит в одном ряду с ними и по модели образования, и по выразительности.

Географически фамилия Ажгибковы встречается не повсеместно. По данным переписей и архивных записей, ее очаг — преимущественно южнорусские и центральные регионы, в частности, Тульская и Рязанская губернии. Там активно бытовали говоры, где «ажги» произносили именно с начальным «а», а не с «о» (в отличие от литературного «ожги»). Это важная примета: написание фамилии через «а» — не ошибка, а диалектная черта, закрепленная в документе. Встречаются также варианты написания Ажгибков, Ажгибковы, но форма с «а» — основная и исторически верная для этого рода.

Сам суффикс «-ов» указывает на типичную русскую модель образования фамилий по отчеству: Ажгибков — сын Ажгибка. То есть фамилия возникла не от имени, а от уличного прозвища родоначальника. Сословие носителей, скорее всего, крестьянское или однодворческое — в среде крепостных и государственных крестьян такие яркие, бытовые прозвища давали особенно часто. Дворянских корней у этой фамилии, судя по имеющимся данным, нет.