Фамилия Ажовский — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Первое, что замечаешь, — суффикс -ский. В русской, польской, украинской и белорусской традиции он чаще всего указывает на связь с местностью: селом, урочищем или рекой. Поэтому самая вероятная версия — топонимическая. В Польше есть деревня Ажув (Ażów), в Украине — село Ажовка. Житель такого места получал прозвище «ажовский», которое со временем и закрепилось как фамилия. Если ваши предки носили фамилию Ажовский, скорее всего, они происходят из западных регионов бывшей Российской империи и принадлежали к крестьянскому или мещанскому сословию — дворянских родов с такой фамилией в официальных родословных книгах не зафиксировано.

Есть и вторая версия, хотя она менее распространена. В южнорусских и украинских говорах слово «аж» (или «аже») — усилительная частица вроде «даже» или «так что». Человека, часто вставлявшего это слово в речь, могли прозвать Аж или Ажко. От этого прозвища через суффикс принадлежности -ов- (Ажов) и типичный для переселенцев суффикс -ский и образовалась фамилия. Такая модель встречается у фамилий, возникших из междометий или частиц, — например, Аховский или Нуйкин.

Обратите внимание на орфографию: фамилия пишется через «о» — Ажовский, а не Ажевский. Это указывает на твёрдую основу (Ажов), а не на мягкую. Варианты вроде Ажёвский или Ажэвский, которые иногда встречаются в интернете, — либо ошибки, либо поздняя адаптация в языках без буквы «ё».