Фамилия Азьмук образована от прозвища Азьмука. В основе лежит слово «азям» — верхняя мужская и женская крестьянская одежда. Азям шили длинным, до щиколоток, с прямым широким рукавом и большим отложным воротником. Спина и полы часто расширялись книзу или имели продольные клинья. Азям запахивали справа налево, подпоясывали кушаком, а воротник могли поднимать почти до макушки и завязывать тесёмкой. В такую одежду обычно облачались поверх другой верхней одежды в дорогу или в непогоду.

Прозвище Азьмука могло указывать на род занятий: портной, шивший азямы, или торговец, продававший их. Не исключено, что прозвище отражало социальное положение — бедный крестьянин, чья одежда состояла из одного лишь простого азяма. В любом случае, фамилия закрепилась в форме, характерной для украинской и белорусской ономастики: суффикс -ук/-юк (в данном случае -мук) указывает на принадлежность к кому-то, буквально «сын Азьмуки» или «потомок человека, связанного с азямом». В русских говорах та же основа дала фамилии Азимов, Азямин, Азямов, а форма Азьмук выдаёт западный ареал бытования — скорее всего, современные западные области Украины или юг Беларуси.

Слово «азям» в разных фонетических вариантах (озям, езям) было распространено в южных и западных регионах, поэтому искать корни фамилии стоит там. Иных версий происхождения, кроме прозвищной от названия одежды, не существует: попытки связать фамилию с тюркскими корнями или личным именем не подтверждаются ни географией бытования, ни словообразовательной моделью.