Фамилия Азьмука образована от прозвища, в основе которого лежит нарицательное «азям» — так называли верхнюю крестьянскую одежду, распространённую у мужчин и женщин. Азям представлял собой халатообразный однобортный кафтан: длинный, до щиколоток, с широким прямым рукавом и большим отложным воротником. Спина и полы могли быть прямыми с продольными клиньями или расширяться книзу. Носили его нараспашку или запахивали справа налево, подпоясывая кушаком, концы которого затыкали за пояс. В дорогу или в непогоду воротник поднимали почти до макушки и подвязывали шарфом или тесёмкой — такой азям надевали поверх другой верхней одежды.

Прозвище Азьмука, скорее всего, указывало на род занятий человека. Предок мог быть портным, который шил эти кафтаны, или торговцем, который их продавал. Реже прозвище могло закрепиться за бедным крестьянином, чья одежда и социальное положение ассоциировались с этим простым и грубым нарядом. Суффикс -ук-/-юк- в фамилии характерен для украинской и белорусской словообразовательной модели: он часто указывал на молодого человека, сына или подмастерье. Таким образом, Азьмука — это не просто «тот, кто носит азям», а скорее «сын или ученик Азьмы» (человека, связанного с этой одеждой). Фамилия редкая, её географическое бытование, вероятно, связано с юго-западными регионами России или с украинско-белорусским пограничьем, где слово «азям» было в ходу, а суффикс -ук- встречается особенно часто.