Фамилия Азмун — редкий случай, когда её происхождение почти наверняка указывает на определённую этническую и географическую среду, а не на сословную или профессиональную принадлежность. В русском ономастиконе она стоит особняком, поскольку её основа не имеет славянских корней, а суффиксальная модель нехарактерна для исконно русских фамилий.

Скорее всего, Азмун — это фамилия, принесённая в Россию переселенцами или выходцами из Закавказья, в частности из армянской среды. В армянском языке слово «азмун» (аզմուն) означает «испытание», «проба», «экзамен». Фамилии, образованные от абстрактных понятий, в армянской традиции встречаются, но реже, чем от имён или прозвищ. Не исключено, что прозвище Азмун могли дать человеку с непростой судьбой, прошедшему через серьёзные жизненные испытания, или, напротив, тому, кто сам был строгим судьёй и «испытателем». В таком случае фамилия фиксирует не профессию, а характер или жизненный опыт.

Другая версия, менее распространённая, связывает фамилию с иранскими языками. В персидском «азмун» (آزمون) также значит «испытание», «тест». Это объяснимо: армянский и персидский на протяжении веков тесно контактировали, и слово могло быть заимствовано. Если верна иранская гипотеза, носители фамилии могли происходить из регионов исторической Персии или азербайджанских земель.

Написание фамилии устойчивое, без вариантов вроде «Азмунь» или «Азмунов», что говорит о её позднем закреплении и отсутствии адаптации через типичные русские суффиксы (-ов, -ин). Фамилия не склоняется по падежам как женская (у Азмун, к Азмун), но мужская версия может склоняться (с Азмуном, об Азмуне). В России она встречается точечно, преимущественно в городах с армянскими диаспорами — Москва, Краснодар, Ростов-на-Дону. Среди известных носителей — футболист Сердар Азмун, иранский игрок иранского происхождения, что подтверждает иранский след фамилии в современном спорте.