Фамилия Азобкова — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Чтобы понять её корень, нужно отбросить суффикс -ов- (в женской форме — -ова), который указывает на принадлежность: «чей?» — Азобков, то есть сын или потомок человека по прозвищу Азобок. Основа здесь — «Азобок». В русских говорах слово «азобок» не зафиксировано как нарицательное, поэтому логичнее всего искать объяснение в диалектном или искажённом прозвище.

Наиболее вероятная версия связывает фамилию с южнорусскими или украинскими говорами, где «азоб» могло быть вариантом слова «озоб» — так в некоторых областях называли зоб, болезнь щитовидной железы, или просто толстую шею. Человек с заметным зобом мог получить прозвище Азоб (или Азобок — уменьшительное). Суффикс -ок в прозвищах часто придавал оттенок «носитель признака»: Азобок — тот, у кого есть зоб. Фамилия тогда — типичная «медицинская» по происхождению, как Горбатов, Косоруков или Беззубов.

Вторая, менее вероятная версия — от имени или прозвища Азоб, которое могло быть заимствованием из тюркских языков, где «азоб» означает «мучение, страдание» (арабское «азаб» через тюркское посредство). В таком случае прозвище могли дать человеку, пережившему тяжёлые испытания, или, наоборот, тому, кто сам доставлял хлопоты. Но для русской фамильной модели —ов это нехарактерно: тюркские основы обычно дают фамилии на -ин (Азабин) или остаются без суффикса (Азаб). Поэтому версия с диалектным «зобом» выглядит убедительнее.

Географически фамилия встречается крайне редко, в основном в центральной России и Поволжье. В дореволюционных источниках она не прослеживается среди дворянства или купечества — скорее всего, это крестьянская или мещанская фамилия, возникшая в XVIII–XIX веках, когда прозвища закреплялись за целыми семьями. Интересно, что в написании иногда путают «Азобкова» и «Озобкова» — это подтверждает связь с «озобом»: в говорах аканье делало «о» и «а» неразличимыми на письме.