Фамилия Азобко — редкий случай, когда корень слова неочевиден, а суффикс выдаёт географию. В отличие от распространённых фамилий на -ов или -ин, здесь мы видим украинский суффикс -к-о, который в украинской ономастике образует фамилии от прозвищ, названий профессий или личных имён. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Азо́бко.

Происхождение основы — главная загадка. Вероятнее всего, она связана с диалектным или старым словом «азоб» или «озоб». В южнорусских и украинских говорах «озоб» — это зоб, болезнь щитовидной железы, или просто горло, глотка. Прозвище Азоб могли дать человеку с заметной особенностью шеи — например, с зобом или хриплым голосом. Менее вероятная, но возможная версия — связь с глаголом «азобать» (зябнуть, мёрзнуть) или с тюркским «азоб» (трудный, тяжёлый), но для украинской фамилии это менее типично.

По модели образования Азобко стоит в ряду таких фамилий, как Голубко, Скоробогатько, Мельниченко. Носитель такой фамилии — потомок человека, которого в своё время прозвали Азобом. Суффикс -к-о в украинской традиции мог означать как уменьшительность («маленький Азоб»), так и принадлежность («сын Азоба»). В отличие от русских фамилий на -ов, которые закрепились в документах XVII–XVIII веков, украинские фамилии на -ко часто фиксировались позже, в XIX веке, и могли менять окончание при переходе в русскую среду (например, Азобко могло превратиться в Азобкова, но исходная форма сохранилась).

Географически фамилия тяготеет к западу и центру Украины — Полтавщине, Черкасщине, Харьковщине. Встречается она редко, поэтому точных данных о сословной принадлежности предков нет. Скорее всего, это были крестьяне или казаки — именно в этих средах прозвищные фамилии на -ко были особенно распространены. Никаких известных исторических личностей с такой фамилией не зафиксировано, что не умаляет её ценности: она сохранила редкое диалектное слово, которое сегодня почти исчезло из живого языка.