Фамилия Азонова — женская форма фамилии Азонов, и её происхождение неоднозначно. Самая распространённая версия связывает основу с греческим словом «озон» — «пахнущий». Изменение начальной «о» на «а» здесь объясняется привычной для русского языка произносительной нормой: безударный звук редуцировался, а на письме закрепился вариант с «а». По этой логике, фамилию мог получить семинарист, которому при поступлении в духовное училище дали «благозвучную» фамилию по греческому корню, а до этого он носил, например, фамилию Пахнов или Запахов — то есть тоже связанную с запахом, но более прозаичную.

Существует и другая версия, уводящая на Кавказ. Согласно ей, фамилия Азонов образована от грузинского имени Азон. В переводе с древнееврейского это имя означает «сильный, крепкий». В грузинской средневековой историографии так звали правителя Картли (исторической области Грузии) в последней трети IV века, хотя историчность этого персонажа сомнительна. Имя Азона иногда сопоставляют с греческим мифологическим героем Ясоном, который, по некоторым античным источникам, правил в Колхиде. Какая из версий верна для конкретной семьи, без серьёзного генеалогического исследования сказать сложно — процесс формирования фамилий был длительным, и в разных регионах одна и та же по звучанию фамилия могла возникнуть из разных источников.