Фамилия Баазои — редкий случай, когда происхождение не угадывается с ходу. В ней нет привычных русских суффиксов -ов, -ин или -ский, и на слух она звучит как заимствованная. Скорее всего, так и есть: фамилия невеликорусская, а принесена в Россию из другого языкового ареала.

Наиболее вероятная версия — итальянские корни. В Италии существует фамилия Baazoi, и её основа, вероятно, восходит к диалектному прозвищу или топониму. Суффикс -oi в итальянских фамилиях встречается в северных регионах, особенно в Венето и Ломбардии, где распространены окончания на -oi, -ei, -ai. Такие фамилии часто образовывались от названий местности или от личных имён в уменьшительной форме. Например, «Baazoi» могло возникнуть от прозвища «Baazo» (возможно, вариант имени Бартоломео или от слова, означающего «поцелуй» — bacio, но с местным произношением). В любом случае, это прозвище закрепилось за одним человеком, а затем перешло к потомкам.

Вторая версия — еврейское происхождение. Фамилия могла быть записана при переписи или эмиграции из идиша или иврита. В таком случае она могла быть аббревиатурой или искажённой записью фамилии, начинающейся на «Ба…». Однако твёрдых доказательств этому нет: в известных словарях еврейских фамилий (например, у Александра Бейдера) подобная форма не фиксируется.

В России фамилия встречается единично. По данным открытых источников, носители Баазои живут в Москве и Подмосковье, но численность их крайне мала. Скорее всего, это потомки итальянцев, которые переселились в Российскую империю в XIX — начале XX века (архитекторы, художники, ремесленники) или советские репатрианты. Фамилия не меняла окончания по родам: и мужчина, и женщина будут Баазои.

Если вы ищете связь с конкретным ремеслом или сословием — данных нет. Фамилия не дворянская, не купеческая, и её носители не оставили заметного следа в истории до XX века. Это типичная «малая» фамилия, которая сохранилась благодаря случайности и одному-двум родам.