Фамилия Бадьков — типичный пример русской фамилии, образованной от прозвища или имени через патронимический суффикс -ов. Суффикс указывает на принадлежность: Бадьков буквально значит «сын Бадька» или «человек из рода Бадька». Основа здесь — Бадьк-, которая восходит к слову «бадья». В русских говорах бадьёй называли широкое деревянное ведро, кадку для воды или кваса. Прозвище Бадько могли дать человеку плотного, коренастого телосложения (похожего на бочку или бадью) либо бондарю, делавшему такие кадки.

Версия с прямым значением «ведро» — основная, но есть и альтернативная. В некоторых регионах «бадька» означало «толстяк» или «увалень», что закрепляло прозвище за медлительным или грузным человеком. Менее вероятно, но возможно происхождение от тюркского «бадык» — «лягушка»: такое прозвище могло прицепиться к человеку с широким ртом или специфической походкой. Однако для центральной России тюркская версия редка, и первая гипотеза убедительнее.

Географически фамилия Бадьков тяготеет к северным и центральным областям — Архангельской, Вологодской, Костромской, а также к Поволжью. В этих краях слово «бадья» было обиходным, а бондарное ремесло — обычным делом. Фамилия не относится к аристократическим: её носители в XVII–XIX веках были крестьянами, ремесленниками или мелкими служилыми людьми. Встречаются и варианты написания — Батьков (с оглушением «д» в «т»), но это уже результат местного произношения или ошибок писцов.

Ономастический словарь Б. Унбегауна относит фамилии на -ов/-ев к самой массовой модели русского именослова, а Бадьков — характерный её образец: простая, ясная основа, без редких суффиксов и иноязычных вкраплений. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он жил в деревне, где воду носили бадьями, а прозвище закрепилось за его дедом — либо за внешность, либо за ремесло.