Фамилия Багайсков — редкий случай, когда географическая привязка оказывается надёжнее, чем прозрачная этимология. Судя по суффиксу -ск-, это типичная «географическая» фамилия, образованная от названия места. Такие фамилии в России чаще всего давались дворянам по названию их поместий или выходцам из определённой местности. Однако в случае Багайсков мы имеем дело не с дворянским родом, а с фамилией, которая, скорее всего, закрепилась за крестьянами или однодворцами, переселившимися из села или деревни с похожим названием.

Корень «Багайск» отсылает к гидрониму или топониму. На карте России есть несколько рек и ручьёв с названием Багай (например, Багай в Саратовской области), а также хутора и сёла вроде Багаевка или Багай-Барановка. Форма «Багайсков» с суффиксом -ск- и окончанием -ов указывает на притяжательное значение: «принадлежащий к Багайску». То есть предок носителя фамилии мог быть выходцем из населённого пункта Багайск или Багайское, который, возможно, уже исчез или сменил название. В пользу этой версии говорит и то, что фамилии на -сков в центральной России нередко возникали именно как указание на место жительства, а не на прозвище.

Само слово «багай» в тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) означает «сад», «огород» или «богатство». В диалектах русского языка южных регионов «багай» могло обозначать болотистое место, заросшее кустарником, или просто глухой овраг. Если основа тюркская, то фамилия отражает не столько профессию, сколько природный объект, у которого жили предки. Менее вероятно, но возможно, что в основе лежит прозвище Багай — так могли назвать зажиточного крестьянина или, наоборот, человека, жившего у болота.

Интересно, что фамилия Багайсков встречается крайне редко и сосредоточена в основном в Ростовской области и на юге России. Это подтверждает гипотезу о переселенцах с Дона или из Поволжья, где тюркские топонимы — обычное дело. В дореволюционных источниках фамилия почти не фиксируется, что говорит о её позднем закреплении, возможно, уже после отмены крепостного права, когда крестьянам массово давали фамилии по месту выхода. Таким образом, ваш предок с высокой вероятностью был крестьянином или казаком, который получил фамилию по названию родного хутора или речки, а не по роду занятий.