Фамилия Багайскова привлекает внимание своим необычным звучанием и редким суффиксом. В русской ономастике это женская форма фамилии Багайсков, а сама фамилия образована по модели, типичной для польской и западнорусской шляхты: основа плюс суффикс -ск(ий). Однако здесь есть нюанс: в мужском варианте мы видим не «Багайский», а «Багайсков». Это указывает на то, что в основе лежало не просто географическое название с окончанием -ск, а прозвище или имя, к которому добавили сначала фамильный суффикс -ов, а уже затем, возможно, под влиянием польской традиции, прирастили -ск-.

Скорее всего, корень фамилии — «багай». В южнорусских и украинских говорах «багай» — это лентяй, увалень, человек, который медлителен и нерасторопен. Такое прозвище давали не в обиду, а как бытовую характеристику, которая закреплялась за родом. Вполне вероятно, что предок Багайсковых был человеком спокойным, флегматичным, за что и получил это прозвище. Менее вероятная, но не исключённая версия — связь с тюркским словом «багай» (богатый, сильный), но в русской среде такое прозвище было бы редким.

Сама конструкция «Багайсков» — уникальный гибрид. Если бы фамилия была просто «Багаев», она бы указывала на сына Багая (патроним). Но добавление -ск- говорит о том, что носители фамилии, вероятно, стремились подчеркнуть своё дворянское или шляхетское происхождение. В XVIII–XIX веках многие однодворцы и казаки, желавшие выделиться, переделывали свои простые фамилии на «благородный» манер, добавляя суффикс -ский. Так из «Багаев» мог получиться «Багаевский», а затем и «Багайсков» — с характерным окончанием, напоминающим топонимы (например, «брянский»).

Географически фамилия тяготеет к бывшим южным губерниям России и Украины, где были сильны малороссийские говоры и где слово «багай» было в ходу. Встретить её можно среди потомков казачества или государственных крестьян, которые получили фамилию при переписях. В современной России фамилия редкая, что делает её ценным маркером для генеалогического поиска: если вы носите фамилию Багайскова, скорее всего, ваши предки жили в Курской, Воронежской области или на Кубани.