Фамилия Багрушева — женская форма от Багрушев, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Модель образования здесь редкая: основа на -уш- плюс суффикс -ев. В русских фамилиях суффикс -ев присоединяется к основам на мягкий согласный или шипящий, а -ов — к твёрдым. Но перед нами не типичное «Багров» или «Багрецов», а форма, где -уш- выступает уменьшительно-ласкательным или прозвищным формантом. То есть фамилия пошла не от прямого имени или профессии, а от более неформального, «домашнего» прозвища.

Основа «багр-» отсылает к цвету — багровый, багряный. В древнерусском языке «багр» означало красную или пурпурную краску, а также дорогую ткань, окрашенную в такой цвет. Отсюда могли возникнуть прозвища: Багр, Багря, Багруша. Человек с таким прозвищем мог быть рыжим, румяным, либо носить яркую одежду, либо работать с красителями — например, быть красильщиком тканей. Прозвище Багруша — уменьшительное, ласковое, оно могло закрепиться за младшим членом семьи или за человеком, которого так называли в быту.

Версия с торговлей или ремеслом выглядит правдоподобнее, чем прямая связь с цветом кожи. В XVI–XVII веках прозвища по роду занятий были распространены, а «багряный» — редкий, но встречающийся антропоним. В словаре Веселовского упоминается «Багров» как прозвище, но Багруша — более узкая форма, характерная для северных и центральных регионов России, где -уш- активно использовали в прозвищах (ср. Мишура, Ванюша, Петруша).

Географически фамилия Багрушева встречается нечасто, преимущественно в Поволжье и на Урале. В документах XVIII–XIX веков носители могли быть крестьянами или мещанами, так как фамилии на -ев с уменьшительным суффиксом редко встречались у дворянства. Социальный контекст простой: предок, скорее всего, был ремесленником или крестьянином, которого в деревне прозвали Багрушей за яркую внешность или работу с красными тканями.

В написании важно не путать с фамилией Багрушов — там суффикс -ов, что в принципе возможно, но для женской формы Багрушева характерен именно мягкий вариант, как у отчества от Багруш. Если встретите вариант через «о» — Багрушова — это ошибка или иная диалектная норма.