Фамилия Балагашева — женская форма, мужская — Балагашев. Её основа — тюркское прозвище или имя Балагаш. Разбираем словообразовательную модель: суффикс -ев указывает на принадлежность («чей?»), то есть «сын (или потомок) Балагаша». Фамилия образована по русской патронимической модели, но от нерусского корня — типичный случай для Поволжья, Урала и юга России, где веками жили рядом русские и тюркские народы.

Само имя Балагаш можно разобрать на две части: «бала» (ребёнок, дитя, мальчик) и «гаш» (бровь) или «каш» (камень, твёрдый). В тюркских языках «бала» — частое начало имён-оберегов (Балабек, Балахан). Если вторая часть — «гаш» (бровь), то имя могло означать «ребёнок с красивыми бровями» или «ребёнок-бровь» (метафора тонкости, изящества). Если же это искажённое «каш» (камень) — то «крепкий, как камень, ребёнок». Вторая версия встречается реже, так как звук «к» между гласными в тюркских говорах обычно не переходит в «г» без причины, но в диалектах возможно.

Встречается фамилия Балагашев в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской области и у сибирских татар. В русских говорах слово «балагаш» не зафиксировано, что подтверждает тюркское происхождение основы. Обратите внимание на суффикс -ев, а не -ов: это указывает на основу, оканчивающуюся на мягкий согласный или шипящий (Балагаш — «ш»). Если бы основа звучала как «Балагас», мы бы получили фамилию Балагасов.

Сословно предки Балагашевых могли быть как крестьянами, так и служилыми людьми (казаками, толмачами), поскольку носители тюркских имён в XVI–XVII веках часто поступали на русскую службу и получали поместья. Однако массового дворянского рода с такой фамилией не известно — скорее всего, это фамилия крестьянская или мещанская, закрепившаяся после отмены крепостного права.