Фамилия Балкавадзе — одна из тех, где за привычным грузинским окончанием скрывается совсем негрузинская основа. При первом взгляде на неё бросается в глаза суффикс -дзе, один из самых распространённых в западной Грузии (Имеретия, Гурия, Аджария). Он указывает на происхождение: «сын такого-то» или «из рода такого-то». Но вот корень «Балкав» — совсем не грузинский.

Наиболее вероятное объяснение — тюркское происхождение основы. Слово «балкава» в тюркских языках означало не просто топор, а целый арсенал: секиру, молот, кувалду, палицу и даже широкий нож в форме секиры. Прозвище Балкав могли дать человеку, который торговал оружием или работал кузнецом. В таком случае фамилия Балкавадзе — это грузинское оформление тюркского профессионального прозвища.

Есть и другая версия, хоть и менее убедительная. Она связывает фамилию с арабским или тюркским мужским именем Балкай. Оно образовано от слова «бал» («мёд») с уменьшительно-ласкательным аффиксом -кай, что можно перевести как «ребёнок, сладкий, как мёд». Однако для грузинского антропонимикона такая модель — редкая. Чаще грузины заимствовали тюркские прозвища по ремеслу, чем личные имена с такой семантикой.

Сама фамилия Балкавадзе — хороший пример того, как Кавказ веками переплетал культуры. Тюркское слово, попав в грузинскую языковую среду, получило местный суффикс и закрепилось как фамилия. Если ваши предки носили эту фамилию, вполне возможно, что среди них были мастера по металлу или торговцы оружием, жившие в одном из западногрузинских регионов.