Фамилия Балныкина — женская форма, мужская — Балныкин. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Балныка, а оно, скорее всего, восходит к диалектному слову «балныкать». В южнорусских и, особенно, рязанских говорах так говорили про того, кто говорит невнятно, бормочет или, наоборот, «балуется» болтовней, пустословит. Глагол «балныкать» — из той же звукоподражательной группы, что и «балаболить», «балакать», «лялякать», где повтор слога «ба-ба» или «ля-ля» имитирует неразборчивую речь.

Модель образования проста и типична для русских фамилий XVI–XVII веков: основа (прозвище) плюс суффикс принадлежности -ин. Балныка — Балныкин — буквально «сын Балныки», «из семьи Балныки». Суффикс -ин, а не -ов, указывает, что исходное прозвище оканчивалось на -а, -я, то есть было словом женского или общего рода. В крестьянской среде такие прозвища давали не только за манеру говорить, но и за привычку «баловать», то есть шалить, дурачиться, а иногда — за сходство с балованым ребёнком.

Фамилия редкая. Найти её можно в нескольких точках: встречается в Рязанской области (что подтверждает говоровую привязку), единичные записи есть в Поволжье и на Урале — туда фамилию могли занести переселенцы из центральных губерний в XVIII–XIX веках. Сословно — почти наверняка крестьянская или мещанская: фамилии на -ин с диалектной основой редко встречаются у дворянства, которое чаще брало фамилии по географическому признаку или от полных церковных имён.

В письменных источниках фамилия фиксируется поздно — в основном в метрических книгах XIX века. Более ранних упоминаний, например в документах XVI–XVII столетий, по Балныкиным нет, что тоже говорит о позднем закреплении прозвища в качестве наследственной фамилии. Однокоренные фамилии — Балнычев, Балныков, Балнышов — встречаются ещё реже и, вероятно, образованы от тех же говоров, но с другими суффиксами.

Если ваш предок носил фамилию Балныкин, скорее всего, он жил на юге центральной России, говорил на «окающем» рязанском наречии и получил прозвище за словоохотливость или несерьёзный нрав. Никакой трагедии или тайны в фамилии нет — просто бытовое, живое прозвище, которое закрепилось за родом.