Фамилия Бамбейбуги звучит настолько необычно для русского уха, что сразу хочется отнести её к какому-нибудь экзотическому заимствованию. Однако, скорее всего, перед нами — сложный гибрид, возникший на стыке культур, а не исконно славянское образование. Разбор этой фамилии — задача для лингвиста с фантазией, но у неё есть вполне конкретная логика.

Первое, что бросается в глаза — отсутствие типичных русских суффиксов (-ов, -ев, -ин). Это указывает на то, что фамилия могла быть записана в документах «как есть», без адаптации. В основе лежит прозвище, и его корни, вероятно, следует искать в тюркских или кавказских языках. «Бамбей» или «Бамбай» в ряде тюркских наречий может означать «толстяк», «пузан» или «неповоротливый», а также иногда связываться с названием крупного барабана (от «бомбей» — большой барабан). Вторая часть — «буги» — может восходить к тюркскому «буга» (бык, самец) или к грузинскому «буги» (рог, а также вид танца, но это уже более позднее заимствование). Таким образом, прозвище Бамбейбуги могло означать «толстый бык» или «барабанщик-бык» — образное, крепкое прозвище для сильного, грузного или упрямого человека.

Географически фамилия с такой структурой наиболее вероятна для регионов, где плотно пересекались русские, тюркские и кавказские народы: Нижнее Поволжье, Приуралье, Северный Кавказ, Закавказье. Встречается она крайне редко, что говорит о её локальном происхождении. В метрических книгах XIX века такую фамилию могли дать не по наследству, а как «уличное» прозвище, которое потом закрепилось за потомками одного конкретного человека.

Словообразовательная модель здесь нестандартная: это не суффиксальное, а основосложение, причём без соединительной гласной. В русской ономастике такое встречается редко, в основном в фамилиях, образованных от сращений (вроде «Добролюбов» или «Благонравов»), но здесь сращение произошло из двух разноязычных корней. Фамилия Бамбейбуги — пример того, как прозвище, родившееся в многоязычной среде, застыло в документах без изменений, сохранив свою экзотическую форму. Если ваши предки носили её, они, скорее всего, были людьми из среды казачества или крестьянства южных окраин империи, где смешение языков было нормой.