Фамилия Баромбаум — нечастый случай в русском ономастиконе, и её происхождение, скорее всего, не славянское, а ашкеназское (еврейское). Если отбросить редкие и сомнительные версии, то наиболее прозрачное объяснение лежит в немецком языке, где «Bar» может означать «медведь» (хотя чаще это «голый»), а «Baum» — «дерево». Однако в составе фамилии «Bar» чаще выступает как сокращение от арамейского «бар» — «сын». Таким образом, «Баромбаум» могло сложиться из двух корней: «бар» (сын) и «омбаум» — искажённое «Омбаум» или «Амбаум». «Омбаум» (Ohmbaum) — немецкая фамилия, означающая «дерево дяди» или, в более широком смысле, «родовое дерево». Тогда Баромбаум — это «сын того, кто носил фамилию Омбаум», то есть патронимическая фамилия, построенная по модели «Бар + фамилия отца».

Вторая, более прямолинейная версия, не требующая промежуточного звена: искажённое «Баренбаум» (Bärenbaum) — «медвежье дерево» (возможно, прозвище по месту жительства у старого дуба, где водились медведи, или по занятию — бортничество в медвежьем углу). В немецком языке «Bär» — медведь, и фамилия Bärenbaum действительно существует. При переходе в русскую среду «Bärenbaum» могло утратить умлаут и упроститься до «Баромбаум» через стадию «Баренбаум» (потеря «н» перед «б» — частое явление в живой речи). Подтвердить эту версию сложно, так как фиксаций фамилии Баромбаум в дореволюционных метрических книгах немного, но в списках фамилий евреев Российской империи встречаются варианты «Баренбаум» и «Баромбаум» как параллельные.

Третий вариант, скорее маргинальный, — от немецкого «bar um Baum» (голый вокруг дерева). Это могло быть прозвище лысого человека или насмешка над бедняком, у которого «ничего нет, кроме голого дерева». Но такие составные прозвища из предлогов и существительных в немецкой ономастике редки и обычно не становятся фамилиями.

Словообразовательная модель здесь проста: фамилия не имеет типичного русского суффикса (-ов, -ин, -ский), она застыла в форме сложного слова. Носители фамилии Баромбаум в России — почти исключительно потомки еврейских ремесленников или торговцев из черты оседлости (Украина, Беларусь, Польша), где немецкие фамилии были распространены среди ашкеназов. Встречаемость фамилии низкая, и большинство современных носителей живут в России, Украине, Израиле и США. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были людьми, получившими фамилию при переходе на немецкий язык документации в XIX веке, и корень её — либо в указании на родство с человеком по фамилии Омбаум, либо в образе медведя и дерева.