Фамилия Барцайкина — женская форма от Барцайкин, и её разумнее разбирать в мужском варианте. Словообразовательная модель здесь прозрачна: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?»), то есть Барцайкин — это «сын Барцайки» или «человек из семьи Барцайки». Сама основа Барцайк- скорее всего восходит к прозвищу или имени Барцайка, которое, в свою очередь, образовано от Барцай с уменьшительным суффиксом -к(а), характерным для русских обиходных имён и прозвищ (ср. Ванька, Петька, Митька).

Корень Барц- — самый интересный и спорный. Вероятнее всего, он связан с диалектным словом «барц» или «барца». В южнорусских и украинских говорах «барц» могло означать «борщ» (ср. белорусское «баршч»), а «барца» — растение борщевик или само блюдо. Прозвище Барцай могли дать любителю борща, огороднику, выращивающему свёклу, или человеку с красноватым цветом лица (по цвету борща). Менее правдоподобна, но возможна связь с тюркскими языками: «барс» (леопард, тигр) через форму «барц» (в некоторых диалектах) — такое прозвище могли получить за силу, ловкость или свирепый нрав. Однако для фамилии с русским суффиксом -ин и уменьшительным -к(а) славянская основа выглядит органичнее.

Географически фамилия Барцайкин встречается редко, преимущественно в центральных и южных регионах России, где были сильны говоры с «аканьем» и украинским влиянием. Это говорит о том, что предки носителей фамилии были, скорее всего, крестьянами или мещанами из тех мест, где бытовало слово «барц». Сословная принадлежность — почти наверняка крестьянство, так как фамилии на -ин от прозвищ с уменьшительным суффиксом типичны для простонародья, а не для дворянства или духовенства.

Таким образом, фамилия Барцайкина — это «дочь (или жена) Барцайкина», то есть потомка человека, которого в быту звали Барцайка. А сам Барцайка, скорее всего, получил прозвище по связи с борщом — либо как любитель этого блюда, либо как тот, кто его варил или выращивал для него овощи. Это редкий случай, когда фамилия сохраняет не просто имя, а бытовую деталь повседневной жизни предков.