Фамилия Башчеванжи — редкий случай в русском ономастиконе. Она не вписывается в привычные модели на -ов, -ин или -ский, и сразу выдаёт нерусское происхождение. Скорее всего, перед нами фамилия тюркского или, уже, турецкого корня, адаптированная русским языком.

Разложим её на части. Первая часть — «баш». В тюркских языках это слово означает «голова», «главный», «начало». Входит в состав многих имён, прозвищ и титулов (например, «башлык» — головной убор, «башка» в русском просторечии). Вторая часть — «чеванжи» — сложнее. Скорее всего, это искажённое турецкое слово «çavuş» (чавуш), которое в Османской империи обозначало воинский чин или должность: глашатай, сержант, посыльный. В русском языке это слово закрепилось как «чауш». Фамилии, образованные от «чауш», встречаются у балканских народов, но в русской среде они редки.

Таким образом, Башчеванжи можно интерпретировать как «главный чауш» или «старший сержант». Словообразовательная модель типична для тюркских языков: слияние двух основ в одно прозвище. Суффикс «-жи» (в оригинале «-cı») в турецком указывает на профессию или род занятий (сравните: «кебабчи» — тот, кто делает кебаб, «балтаджи» — дровосек). В фамилии Башчеванжи этот суффикс уже встроен в слово «чеванжи», то есть «чауш» плюс показатель профессии.

Носитель такой фамилии, скорее всего, был выходцем из Османской империи или из среды крымских татар, где военно-административная терминология была в ходу. В России фамилия могла появиться через пленных, купцов, дипломатов или переселенцев из Причерноморья. Окончание на «-и» характерно для многих заимствованных фамилий, адаптированных русским языком: оно позволяет склонять фамилию (Башчеванжи, Башчеванжи, о Башчеванжи), но не меняет её по родам.

Встречаемость фамилии крайне низкая. Это не массовая фамилия крестьян или дворян, а скорее единичный случай, сохранившийся в нескольких семьях. Географически её можно искать на юге России, в Краснодарском крае, Ростовской области или в Крыму — регионах, где исторически было сильное тюркское влияние.