Фамилия Башкутская — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Скорее всего, она образована от названия населённого пункта, а значит, принадлежит к пласту «географических» фамилий, которые давали переселенцам по месту, откуда они приехали. Суффикс -ск- (в женском роде -ская) прямо указывает на связь с местом: «из Башкут» или «башкутский».

Ключевой вопрос: что такое «Башкут»? Топонимов с таким звучанием в современных атласах почти нет, но можно предположить его тюркское происхождение. В тюркских языках «баш» означает «голова» или «вершина», а «кут» — «душа», «счастье», «благодать». Вместе «Башкут» может переводиться как «верховное счастье» или «главное благословение». Такое название могли дать селению, основанному на возвышенности, или же оно несло в себе пожелание удачи. Встречаются похожие названия в Крыму и в некоторых районах Северного Кавказа, где исторически сильны тюркские языки.

Менее вероятная, но не исключённая версия — связь с личным прозвищем. Если бы фамилия была образована напрямую от прозвища Башкут (например, так могли прозвать очень удачливого или властного человека), то в русском языке она, скорее всего, получила бы суффикс -ов или -ин (Башкутов, Башкутин). Форма на -ский — это почти стопроцентный маркер дворянского или, что чаще, географического происхождения. Поэтому версия с топонимом выглядит убедительнее.

Важно отметить, что в польской и украинской ономастике суффикс -ский (-цький) также очень распространён и часто указывает на шляхетское происхождение. Однако корень «Башкут» для славянских языков нетипичен. Это склоняет к мысли, что носитель фамилии Башкутская мог происходить из семьи, которая когда-то жила на землях с тюркским населением (например, в бывшем Крымском ханстве или на южных рубежах Речи Посполитой) и оттуда переселилась вглубь России или Украины, сохранив в фамилии память о своей малой родине.

Таким образом, основная версия: фамилия Башкутская — топонимическая, образована от названия села или урочища Башкут с тюркской этимологией. Носительница этой фамилии — потомок выходцев из того места.