Фамилия Баснарёва — женская форма фамилии Баснарёв, и её происхождение стоит искать в прозвище или профессии далёкого предка. Основа фамилии — «баснар» или «баснарь», слово, которое в старых русских говорах имело конкретное значение. Скорее всего, речь идёт о человеке, который занимался изготовлением или продажей басен — так в некоторых регионах называли украшения, бляхи, подвески или даже бахрому. В этом случае «баснарь» — ремесленник, работающий с металлом или текстилем, своего рода ювелир или галантерейщик. Суффикс -ёв (-ев) указывает на принадлежность: Баснарёв — сын или потомок баснаря.

Вторая, менее вероятная версия связывает фамилию с диалектным глаголом «баснить» — говорить складно, краснобайствовать, плести небылицы. Тогда прозвище Баснарь мог получить говорун или сказочник. Однако слово «баснарь» в значении «ремесленник» встречается в исторических документах чаще, и оно даёт более устойчивую основу для фамилии.

Фамилия редкая, что говорит о её узкой локальной привязке. Вероятнее всего, она возникла на севере или северо-востоке России, где были сильны архаичные диалекты и сохранялись названия забытых ремёсел. В современных справочниках Баснарёвых немного, и сосредоточены они в основном в центральных областях. Написание через «ё» — не случайность, а точная передача произношения: ударение падает на последний слог, что типично для фамилий, образованных от слов с суффиксом -арь.

Таким образом, носительница фамилии Баснарёва может с большой уверенностью считать своего предка мастеровым человеком — не крестьянином и не дворянином, а городским или посадским ремесленником, чей труд был связан с изготовлением вещей, которыми люди украшали себя или свой дом.