Фамилия Басыня — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Скорее всего, в её основе лежит прозвище, а не крестильное имя. Корень «бас» в русских говорах многозначен: это и «краса, щегольство» (отсюда «баской» — красивый, нарядный), и «басня, выдумка», и даже «крик, шум». Сходство со словом «басня» здесь, скорее всего, случайное: суффикс -ын(я) в фамилиях встречается нечасто, но он характерен для прозвищ, образованных от глагольных основ (ср. «воркотня», «толкотня»). В случае с Басыней исходным могло быть слово «басить» — то есть говорить басом, гудеть, либо «басить» в значении «красоваться, наряжаться».

Версия с «баской» (красивый) выглядит правдоподобнее. Прозвище Басыня могли дать щеголю, человеку, который любил принарядиться или был видным, статным. Такие прозвища на -ыня иногда закреплялись за человеком иронично или, наоборот, с уважением. Менее вероятна связь с украинским или белорусским «басня» (басня, сказка) — тогда прозвище могло принадлежать рассказчику, выдумщику.

Фамилия образована по модели, где суффикс -ин (в родительном падеже — Басынина) указывает на принадлежность: «сын Басыни». Это типичная русская патронимическая или прозвищная модель, но с редким суффиксом основы. Географически фамилия могла закрепиться в южнорусских или западнорусских областях, где слово «баской» было в ходу, но точных данных по её распространению нет — фамилия остаётся малочисленной.

Сравните с однокоренными фамилиями Басов, Басин, Баскаков — все они идут от того же корня, но с разными суффиксами. Басыня стоит особняком: она сохранила исходную прозвищную форму, не переделанную в стандартное -ов или -ин. Это говорит о том, что фамилия могла закрепиться в одной локальной ветви без позднейшего «огосударствления» через канцелярские суффиксы.