Фамилия Басьюни — редкий случай, когда написание сразу выдаёт нерусское происхождение. В ней нет ни одного из типичных восточнославянских суффиксов (-ов, -ин, -ский), а сочетание «ю» после мягкого знака указывает на западноевропейскую или, точнее, прибалтийскую передачу звука.

Скорее всего, перед нами фамилия литовского или жемайтского корня. В основе лежит личное имя или прозвище Basys (Басис) — в литовском языке это слово имеет значение «босой», «разутый». Фамилии с таким корнем (Basis, Basys, Basiūnas) распространены в Литве и в пограничных районах Беларуси и Польши. Окончание «-юни» в русской записи — это адаптация литовского суффикса -iūnas, который обозначает принадлежность: «сын такого-то» или «происходящий от такого-то». То есть Басьюни — это «сын Басюса» или «потомок Басюса».

Встречается и другая версия: фамилия могла возникнуть от тюркского имени или прозвища, но она значительно слабее. Тюркские корни в такой фонетической форме почти не фиксируются, а география фамилии (Литва, северо-запад Беларуси) убедительно подтверждает балтское происхождение.

Носитель фамилии Басьюни — это, скорее всего, потомок литовского или белорусского крестьянина, получившего прозвище «босой». Прозвище могло быть дано бедняку, который ходил без обуви, или же человеку, который по какой-то причине выделялся этим признаком. В XIX веке, после отмены крепостного права, такие прозвища закреплялись как фамилии для целых семей.

В современной России фамилия встречается крайне редко, её можно найти в основном в Калининградской области и в крупных городах, куда переехали выходцы из Прибалтики.