Фамилия Батрименко, скорее всего, образована от прозвища Батрим. Оно может брать начало от устаревшего нарицательного «бутрим», которое имеет значение «упрямец», «неслух», «строптивый человек». Вероятно, именование Батрим отражает особенности характера его обладателя. Так могли назвать целеустремленного, напористого и настойчивого человека. Не исключено, что Батримом прозвали капризного и проказливого ребенка. Также Батримом могли прозвать человека со сложным характером. Изменение гласных а/у можно объяснить изменениями, происходившими в ходе развития языка. Так и прозвище Батрим закрепилось за человеком в качестве наиболее употребительного именования, а со временем легло в основу фамилии Батрименко. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Батрим, со временем получил фамилию Батрименко.