Фамилия Батрименко образована от прозвища Батрим, которое, скорее всего, связано с устаревшим словом «бутрим» — так на Руси называли упрямца, строптивого человека или «неслуха». Чередование гласных а/у в корне — естественный процесс для живого языка, поэтому «Батрим» и «Бутрим» по сути одно и то же прозвище. Значит, в основе фамилии лежит не профессия и не географическое название, а черта характера: прозвище давали либо ребенку-проказнику, либо взрослому с независимым и напористым нравом.

Суффикс «-енко» типичен для украинской ономастики и указывает на происхождение: Батрименко — это «сын Батрима», «потомок Батрима». Такая модель была особенно распространена в Левобережной Украине и на юге России, где фамилии на «-енко» вытесняли более ранние формы именований. Если ваш предок носил фамилию Батрименко, то, скорее всего, родом он из Черниговской, Полтавской или соседних губерний.

В отличие от фамилий, образованных от крестильных имен (Иванов, Петров), Батрименко стоит особняком: её основа — чисто прозвищная, мирская. Это значит, что первый носитель прозвища был известен в своей общине именно своим норовом, и это качество оказалось настолько ярким, что закрепилось за его детьми уже как фамильное имя. В некоторых говорах «бутрим» могло звучать и как «батрым» — с тем же значением «упрямец», так что вариант написания с «а» не ошибка, а диалектная особенность.