Фамилия Байгаскина — женская форма фамилии Байгаскин. Её основа восходит к тюркскому прозвищу или имени, что сразу указывает на географию происхождения: скорее всего, предки носительницы фамилии жили в Поволжье, на Урале, в Сибири или в Казахстане. Разберём слово по частям.

Корень «бай» в тюркских языках означает «богатый», «господин», «хозяин». Это один из самых распространённых компонентов в тюркских именах и прозвищах (вспомните фамилии Байков, Баймуратов). Вторая часть — «гаскын» — менее очевидна. Вероятнее всего, это искажённое или диалектное «каскын» или «каскан», что может значить «беглец», «скиталец» (от тюркского «кач-» — убегать). Таким образом, Байгаска — это прозвище вроде «богатый беглец» или «господин-скиталец». Не исключено, что так называли человека, который, будучи состоятельным, по каким-то причинам покинул родные места и обосновался в другом краю.

Суффикс «-ин» в фамилии Байгаскин — стандартный русский патронимический суффикс, указывающий на принадлежность: «чей?» — Байгаскин, то есть сын или потомок Байгаски. Фамилия закрепилась, скорее всего, в XIX веке, когда у тюркских народов Российской империи массово стали оформлять фамилии по русскому образцу.

Интересная деталь: написание через «г» (Байгаскина), а не через «к» (Байкаскина) говорит о том, что в исходном прозвище звук был звонким. В некоторых тюркских языках, например в татарском или башкирском, оглушение начального согласного в таких сочетаниях не происходит, что и отразилось в письменной фиксации. Это — хорошая зацепка для генеалогического поиска: если ваши предки из Татарстана или Башкортостана, версия с «г» становится основной.

Однокоренных фамилий немного, и это делает Байгаскина редкой. Встречаются варианты Байгаскин, Байгаскина, и практически нет фамилий Байгасков или Байгацкий. Это дополнительно подтверждает, что фамилия возникла не от названия места, а от личного прозвища.

Сословная принадлежность предков могла быть разной: от крестьян до купцов (учитывая корень «бай»). Но точных данных об этом нет. Для дальнейшего поиска стоит обратить внимание на переписи населения Оренбургской, Уфимской или Казанской губерний — именно там чаще всего фиксировали фамилии с тюркской основой и русским суффиксом.