Фамилия Бажатушков — редкий случай, когда на стыке тюркского корня и русской модели образования возникла форма, неудобная для русского уха. Здесь сразу бросается в глаза суффикс -ов, указывающий на принадлежность (чей? — Бажатушков), а вот основа ставит в тупик.

Если отбросить окончание, остаётся Бажатушк-. Это, скорее всего, искажённое при переносе в русскую среду тюркское прозвище. Вероятная основа — Бажатуш или Бажатушко. Слово «бажа» (или «баджа») в тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) означает «свояк» — муж сестры жены. То есть мужчина, женатый на сёстрах одной женщины, приходятся друг другу бажами. Это не кровное родство, а свойство, но в традиционном обществе такие связи ценились высоко.

Вторая часть — -туш — может быть испорченным окончанием имени (например, тюркское имя Бажатуш, где «туш» — «сон», «видение»), либо диалектным вариантом прозвища. Но правдоподобнее, что перед нами не имя, а прозвище: Бажатушко — уменьшительно-ласкательная форма от «бажа» (ср. «брат — братушко», «кум — кумушко»). В русских говорах, особенно в южных и пограничных с тюркским миром, такие гибриды не редкость: тюркский корень обрастал русским суффиксом -ушк- и затем фамильным -ов.

Таким образом, родоначальник Бажатушковых мог получить прозвище «Бажатушко» (ласковое обращение к свояку) либо от тюрков-соседей, либо от русских, которые так переделали его имя. Фамилия указывает на смешанную этническую среду — вероятно, южные регионы России (Поволжье, Оренбуржье, Ставрополье) или земли, где русские крестьяне жили бок о бок с татарами и башкирами. В дворянских родословных книгах эта фамилия не встречается, что говорит о её крестьянском или казачьем происхождении.

Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Бажа́тушков. Встречается фамилия крайне редко, практически не имеет однокоренных вариантов в русском языке — это делает её почти уникальным маркером определённой семейной истории, связанной с межэтническими браками или переселением.