Фамилия Бажаев чаще всего ведет начало от тюркского прозвища Бажай. Слово «бажа» в тюркских языках означает «свояк» — то есть муж сестры жены. Прозвище указывало на родственные отношения: так могли назвать человека, породнившегося с семьей через брак, или закрепить за ним роль «свата» в роду. Фамилию образовали по русской модели с суффиксом -ев, который присоединяли к основам на мягкий согласный или на йот. В данном случае к основе Бажай добавили -ев, и получилось Бажаев. Такая словообразовательная схема типична для фамилий, которые возникли в зоне контакта русских и тюркских народов — на Кавказе, в Поволжье, в Приуралье.

Есть и другая, менее распространенная версия: в некоторых говорах «бажай» могло быть формой имени Бажен. Бажен — древнерусское нецерковное имя, означавшее «желанный, долгожданный ребенок». Если основа Бажай восходит к этому имени, фамилия Бажаев окажется не тюркской, а исконно русской, но с измененным произношением. Первая версия выглядит правдоподобнее: география фамилии — Северный Кавказ, где тюркские прозвища переходили в русские фамилии естественным путем.

Известный носитель фамилии — Зия Юсупович Бажаев (1960–2000), российский предприниматель, основатель компании «Альянс». Он родился в селе Ачхой-Мартан Чечено-Ингушской АССР, окончил Краснодарский Политехнический институт как инженер-технолог и имел степень кандидата технических наук. Фамилия Бажаев встречается преимущественно у чеченцев и ингушей, а также у народов Дагестана, что подтверждает ее тюркские корни.