Фамилия Бажаг — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. На первый взгляд она кажется иноязычной, и это первая версия, которую стоит проверить. В русской ономастике фамилии на -аг почти не встречаются в исконных моделях. Суффикс -аг характерен для западнославянских языков (чешского, словацкого, польского) и для некоторых тюркских. В польском, например, суффикс -ag используется для образования прозвищ и фамилий от глаголов (ср. biedak — бедняк, łajdak — негодяй). Поэтому логичнее всего предположить, что основа Баж- — это корень, а -аг — словообразовательный элемент.

Если отталкиваться от славянской модели, то основа Баж- восходит к глаголу «бажать» (диалектное, южнорусское и украинское) — «сильно желать», «хотеть», «жаждать». В говорах «бажаный» означало «желанный», «любимый». Тогда Бажаг — это прозвище человека, который чего-то сильно хотел, или же, что вероятнее, ласкательное прозвище «желанного» ребёнка (долгожданного). Такая модель образования прозвищ от глагольных корней с суффиксом -аг встречается у поляков и белорусов: ср. Bajdag (от bajdać — болтать) или Krzykag (от krzyczeć — кричать). В русском языке этот суффикс не стал продуктивным, поэтому фамилия могла прийти на Русь из западных регионов (современные Беларусь, Польша, запад Украины).

Вторая версия — тюркская. В тюркских языках корень баж- (или бадж-) означает «дань», «налог», «пошлина». В таком случае Бажаг могло быть прозвищем сборщика податей или человека, связанного с торговыми пошлинами. Однако эта версия слабее: фамилия не имеет характерных тюркских суффиксов (-ов, -ев, -ин), а окончание -аг для тюркских фамилий нетипично. Скорее всего, это случайное фонетическое совпадение, и славянское происхождение выглядит убедительнее.

Географически фамилия Бажаг встречается в основном на западе России (Псковская, Смоленская области), а также в Беларуси. Это косвенно подтверждает западнославянскую или белорусскую природу фамилии. В дореволюционных метрических книгах эта фамилия не была распространена, что говорит о её локальном, возможно, однодворческом или крестьянском происхождении.

Итак, наиболее вероятное значение фамилии Бажаг — «желанный», «любимый» (от диалектного «бажать»). Носитель фамилии — потомок человека, которого в семье называли долгожданным или просто ласково. Тюркская версия («данщик») возможна, но маловероятна из-за несоответствия словообразовательной модели.