Фамилия Бажак — редкий пример, где за короткой основой скрывается сразу несколько версий, причём ни одна из них не выглядит натянутой. Самая вероятная и конкретная связывает прозвище Бажак с тюркским словом «бажа» — свояк, муж сестры жены. Если это так, то фамилия изначально указывала на родство по свойству, а не по крови: предка могли так прозвать в окружении, чтобы отличить от других родичей. Тюркский уменьшительный суффикс -ак здесь работает как «своячок», «свояк-младший», либо просто закрепился в обиходе. Но есть нюанс: тот же суффикс мог появиться и под украинским влиянием, где -ак — одна из типичных фамильных моделей (как Гайдук, Козак, Шпак). То есть фамилия могла оформиться уже на славянской почве, а корень остаться тюркским — такое нередко бывает в южнорусских и украинских регионах.

Вторая группа версий отталкивается от славянской диалектной лексики. Глагол «бажать» (очень сильно хотеть, желать) мог дать прозвище долгожданному ребёнку — смысл прозрачный и трогательный. Слово «баженье» в некоторых говорах означало «милость, сострадание» — тогда прозвище Бажак получил человек мягкий, добросердечный, способный к сопереживанию. Есть и более тёмный вариант: диалектный глагол «бажить» — ворожить, предвещать, накликать. В этом случае прозвище могло закрепиться за ведуном, знахарем или человеком, за которым в деревне водилась репутация прорицателя.

Словообразовательно фамилия проста: корень баж- плюс суффикс -ак. Это типичная модель для украинских, белорусских и южнорусских фамилий, где -ак часто заменяет более северное -ов/-ев. Географически фамилия Бажак встречается в основном на западе и юге России, а также в восточных областях Украины — как раз в зоне контакта славянских и тюркских говоров. Сословных данных по фамилии нет, но по модели образования она скорее крестьянская или казачья: прозвища такого типа редко попадали в дворянские роды.

Из известных носителей ничего яркого не зафиксировано — фамилия остаётся локальной и негромкой. Но в этом и её ценность: она сохранила живую диалектную или тюркскую основу, которую не стёрла поздняя унификация фамилий.