Фамилия Бажакина — женская форма фамилии Бажакин, и её происхождение напрямую связано с мужским вариантом. В основе фамилии, скорее всего, лежит прозвище или нецерковное имя Бажак. Это слово в русских говорах имело два основных значения. Первое — «упрямец», «своенравный человек» (от глагола «бажиться» — упрямиться, капризничать). Второе, более редкое, — «баловень», «любимец» (от «бажать» — желать, хотеть, ласкать). Таким образом, прозвище Бажак мог получить либо человек с непростым, строптивым характером, либо, напротив, тот, кого баловали и лелеяли.

Модель образования фамилии проста и типична для русского севера и центра. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Бажакин буквально означает «сын Бажака» или «из семьи Бажака». Такие фамилии образовывались от слов мужского рода, оканчивающихся на -а или -я. Интересно, что в некоторых регионах (например, в Вятской губернии) фамилия могла возникнуть и от прозвища Бажака, которое давали человеку, имевшему привычку говорить «бажак» вместо «барин» или «боярин» — это диалектная особенность произношения.

Встречается фамилия Бажакин (и, соответственно, Бажакина) преимущественно в центральных и северных областях России, в частности в Кировской, Нижегородской и Костромской областях. Это подтверждает её севернорусское происхождение, где суффикс -ин особенно распространён. Родственными фамилиями можно считать Бажанов, Бажутин, Баженов — все они образованы от однокоренных слов с тем же значением «желанный» или «упрямый».

Если ваши предки носили фамилию Бажакина, то, скорее всего, родоначальником был крестьянин или ремесленник, получивший уличное прозвище по черте характера или по местной диалектной особенности речи. Дворянских корней у этой фамилии, по имеющимся данным, нет — она бытовала в крестьянской и мещанской среде.