Фамилия Бажайкина — женская форма фамилии Бажайкин, а та, в свою очередь, образована от прозвища или имени Бажайка. Разберём слово по косточкам: корень «баж-» и суффикс «-айк(а)». В русской ономастике суффикс «-айка» нередко встречается в прозвищах, образованных от глагольных основ или диалектных слов. В данном случае основа, скорее всего, восходит к глаголу «бажать» — в ряде южнорусских и уральских говоров это значит «сильно желать, хотеть, жаждать». Отсюда «бажайка» — человек, который постоянно чего-то хочет, капризный или страстно стремящийся к чему-то. Также в некоторых диалектах «бажать» означало «кричать, шуметь», так что прозвище могло закрепиться за крикливым или беспокойным человеком.

Существует и вторая, менее распространённая версия: связь с именем Бажен или Бажан. В древнерусском языке «баженый» — желанный, долгожданный ребёнок. Уменьшительная форма «Бажайка» вполне могла дать фамилию. Эта гипотеза правдоподобнее, если учесть, что от имени Бажен образованы многие фамилии (Баженов, Бажанов, Бажутин), а «Бажайка» — естественная ласкательная форма в ряде регионов. Точных данных в переписных книгах по фамилии Бажайкиных мало, но географически она тяготеет к Поволжью и Уралу — именно там диалектная лексика с корнем «баж-» наиболее жива.

Суффикс «-ин» указывает на принадлежность: Бажайка — сын Бажайки. По модели это типичная русская фамилия, но с редкой основой, что делает её отличной от массовых Баженовых или Бажановых. Если ваш предок носил прозвище Бажайка, он мог быть либо человеком с сильными желаниями, либо долгожданным ребёнком в семье — в зависимости от того, какой вариант реальнее для конкретного рода.