Фамилия Бажайкин образована от прозвища или имени Бажайка, а то, в свою очередь, — от глагола «бажать». В русских говорах, особенно в центральных и поволжских, «бажать» означало «сильно желать, хотеть», «жаждать», а также «кричать, звать». Человек, которого прозвали Бажайкой, мог быть либо очень нетерпеливым и страстным в своих желаниях, либо, наоборот, громким и крикливым. В некоторых диалектах «бажать» имело значение «баловать, нежить», так что прозвище могло относиться к избалованному или любимому ребенку.

Суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность: Бажайкин — это «сын Бажайки». Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ и имен, оканчивающихся на -а или -я. Интересно, что основа «баж-» встречается и в других фамилиях — Баженов, Бажанов, Бажутин. Но Бажайкин стоит особняком: в ней не просто корень, а полная форма прозвища с уменьшительным суффиксом -айк- (как Степайка от Степан, Малайка от малый). Это указывает на то, что прозвище было не грубым, а скорее бытовым, ласкательным или ироничным.

В ономастических справочниках фамилия Бажайкин не упоминается как широко распространенная. Она встречается в основном в записях по Нижегородской, Кировской областям и в Пермском крае — то есть в регионах, где были сильны севернорусские и вятские говоры. Там слово «бажать» было в ходу. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано: это типичная крестьянская или мещанская фамилия, возникшая в среде, где прозвища давали по поведению или привычкам.

Версия о тюркском происхождении (от «баж» — голова, глава) маловероятна: суффикс -айк- и окончание -ин однозначно выдают русскую словообразовательную модель. Если бы корень был заимствованным, фамилия выглядела бы иначе — например, Бажаев или Бажин. Так что перед нами чисто русская фамилия, в основе которой — живое слово народной речи, уже почти забытое.