Фамилия Бадайкина — форма женского рода, мужской вариант — Бадайкин. В основе фамилии лежит прозвище или нецерковное имя Бадайка. Такие имена на -айка (Бадайка, Шутайка, Малайка) в XVI–XVII веках были распространены в северных и центральных русских землях, особенно в Вятке и на Урале. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Бадайкин — «сын Бадайки» или «человек из семьи Бадайки».

Значение прозвища Бадайка спорно, но есть две основные версии. Первая: от глагола «бадать» — бить, колоть, бодать. В диалектах «бадай» — тот, кто бодается, задира, драчун. Прозвище могли дать человеку с крутым нравом или тому, кто работал с рогатым скотом. Вторая версия — от слова «бада» (или «бадега») — так в некоторых говорах называли старую, гнилую вещь, хлам. Тогда прозвище носило бытовой, ироничный оттенок, как «Рваный» или «Плохой».

Интересная деталь: фамилия Бадайкин встречается почти исключительно в русском ареале, но с сильным смещением к востоку. По данным переписей и архивов, наибольшая концентрация носителей — в Кировской области (бывшая Вятка) и Пермском крае. В вятских говорах слово «бадай» имело ещё одно значение — «увалень», «медлительный человек». Если это так, прозвище могло относиться к спокойному, флегматичному человеку, а не к драчуну.

Словообразовательная модель фамилии — типичная для русских фамилий из прозвищ на -ка. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Бада́йкина. Встречаются однокоренные фамилии Бадаев, Баданов, Бадалин, но Бадайкин стоит особняком из-за редкого суффикса -айк-, который в фамилиях встречается реже, чем -к- или -ов-. Это делает фамилию заметной даже среди похожих.

Таким образом, предки человека с фамилией Бадайкина — скорее всего, крестьяне из Вятского края или Приуралья, получившие прозвище по характеру или поведению. Точное значение слова «бадай» в каждом конкретном роду могло различаться, но общий контекст — бытовое, нецерковное именование, типичное для русской деревни XVII–XVIII веков.