Фамилия Бажаков — относительно редкая, но с прозрачной внутренней формой. Её основа — слово «бажак», которое в русских говорах имело несколько значений, и чтобы понять, кем был первый носитель фамилии, нужно разобраться в этих значениях.

Самый вероятный источник — диалектное «бажак» в значении «упрямец, своенравный человек», а также «крикун, задира». В некоторых областях так называли того, кто «бажит» — говорит громко и попусту, капризничает. Соответственно, Бажаком могли прозвать человека с непростым характером: строптивого, неуступчивого или излишне шумного. Прозвища такого типа (Баламут, Ворчун, Крикун) были обычны в крестьянской среде и не несли резко отрицательной окраски, скорее метко фиксировали заметную черту.

Есть и другая версия, менее распространённая. В южнорусских и украинских говорах «бажак» — это «вожак, предводитель, старший». Слово родственно «бажати» (желать, хотеть) и могло означать того, кто «бажає» (желает) власти или главенства. В этом случае прозвище могло принадлежать выборному старосте, атаману артели или просто авторитетному мужику, к чьему мнению прислушивались.

Фамилия образована по стандартной патронимической модели: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?» — Бажаков сын). Это типичная русская фамилия, закреплявшая прозвище отца за его детьми. В отличие от фамилий на -ин, которые чаще образовывались от основ на -а/-я, форма Бажаков — от основы на твёрдый согласный (Бажак).

Географически фамилия тяготеет к центральным и северным областям России, где было распространено слово «бажак» в значении «упрямец». Встречается она и на Урале, куда переселенцы приносили свои прозвища. Интересно, что однокоренные фамилии (Бажанов, Баженов) гораздо более частотны, так как происходят от канонического имени Бажен (от «баж» — желанный, любимый). Бажаков же стоит особняком: в его основе не имя, а именно прозвище, и это делает фамилию более «земной» и привязанной к бытовой характеристике человека.

Таким образом, предки современных Бажаковых с большой долей вероятности были людьми с ярким, независимым нравом — либо теми, кого в округе считали «заводилами» и «вожаками», либо теми, кто славился упрямством и несговорчивостью.