Фамилия Бажал происходит от прозвища, которое напрямую связано с украинским глаголом «бажати» — желать, хотеть. Скорее всего, такое прозвище закрепилось за человеком, который часто чего-то хотел, настойчиво добивался своего или отличался особыми желаниями и стремлениями. В русском языке у этого корня есть и более старый оттенок — «соизволять, изволить», что могло указывать на властный или требовательный характер.

Но есть и другая, более мягкая версия. Фамилия могла образоваться от древнего славянского имени Бажай. Это имя давали долгожданному, вымоленному у Бога ребёнку. Буквально «бажай» — желанное дитя, тот, кого сильно ждали. В этом случае фамилия Бажал несёт не характеристику взрослого человека, а память о том, как его появление на свет было событием для всей семьи.

Обратите внимание на суффикс. Форма «Бажал» (а не «Бажаев» или «Бажанов») — редкая для русских фамилий, но характерная для украинской ономастики. В украинском языке прозвища на -ал не редкость, и они часто становились фамилиями без дополнительных суффиксов (как, например, Коваль, Гончар). Это указывает на то, что корни рода, скорее всего, уходят в украинские земли или южнорусские области, где влияние украинского языка было сильным.

Таким образом, у вас две основные версии: либо предок был человеком страстным, «желающим», либо он был желанным ребёнком, чьё имя со временем превратилось в фамилию. Обе версии правдоподобны, но вторая (от имени Бажай) встречается в ономастических работах чаще, так как объясняет появление целого гнезда родственных фамилий (Бажанов, Бажай, Бажал).