Фамилия Бечайкина — женская форма фамилии Бечайкин. Разбирать её стоит с мужского варианта, поскольку именно он хранит ключ к происхождению.

В основе фамилии лежит прозвище или нецерковное имя Бечайка. Оно, в свою очередь, образовано от глагола «бечать» — старорусского слова, которое означало «бегать», «убегать», а в некоторых говорах — «торопиться», «суетиться». Человек, получивший такое прозвище, мог быть непоседой, быстрым в движениях, либо, напротив, беглым — тем, кто покинул прежнее место жительства. В русской ономастике суффикс -ай(ка) характерен для прозвищ, данных по действию или поведению: вспомним Молчайка, Кричайка, Играйка. Бечайка — из того же ряда.

Фамилия образована по продуктивной модели «прозвище на -а/-я + суффикс -ин». Суффикс -ин указывает на принадлежность: Бечайкин — значит «сын Бечайки» или «человек из семьи Бечайки». Это типичная русская патронимическая фамилия, распространённая в северных и центральных губерниях, где такие формы на -ин встречаются особенно часто.

Стоит отметить, что фамилия редкая, и её ареал, скорее всего, неширок. Встречаются варианты написания с одной «к» — Бечакин, но форма Бечайкин более архаична: она сохраняет исходный суффикс прозвища -ай-. Сравните с фамилиями Бородайкин, Гуляйкин — они устроены так же.

Версия о происхождении от украинского или белорусского слова «беч» (бочка) маловероятна: для такой основы ожидалась бы фамилия Бечкин или Бочкин, а не Бечайкин. Так что самое правдоподобное объяснение — прозвище по характеру или образу жизни, данное предку-непоседе или беглому крестьянину.