Фамилия Бэчой — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает с произношением, но при этом не даёт очевидной подсказки о происхождении. В русском языке нет корня «бэч», а сочетание «ой» на конце скорее характерно для украинских, белорусских или польских фамилий, чем для великорусских. Чтобы понять, откуда она взялась, нужно отбросить привычную модель «основа + суффикс» и присмотреться к тому, как фамилия могла попасть в русский обиход.

Скорее всего, Бэчой — это русифицированная форма фамилии из неславянского языка. Самый вероятный источник — молдавский или румынский. В румынском слово «baci» (читается как «бач») означает «старший чабан», «пастух-бригадир» или, в более широком смысле, «староста». Фамилия Băcioiu (Бэчой) в румынской ономастике — отчество от этого слова, то есть «сын (или потомок) бача». Если предок был молдаванином или бессарабским румыном и переехал в русскоязычную среду, его фамилию записали на слух: «бэчой» вместо «бэчиой» или «бэчою». Подтверждает эту версию и то, что фамилия встречается в Молдове и на юго-западе Украины, в бывшей Бессарабии.

Менее вероятная, но возможная версия — происхождение от тюркского прозвища. В тюркских языках есть корень «bäç» или «beç», который в разных диалектах мог означать «козлёнок», «козёл» или, реже, «упрямец». Однако для такой версии характерно окончание «-ев» или «-ов» (Бэчев, Бэчов), а не «-ой». Поэтому румынский след выглядит надёжнее.

С точки зрения словообразования, фамилия Бэчой не имеет в русском языке продуктивных суффиксов. Это указывает на то, что она не образована по русской модели (как, например, Кузнецов или Соколов), а заимствована целиком. В молдавском варианте суффикс «-ой» (рум. -oiu) — это увеличительный или отчественный суффикс, он придаёт основе значение «большой» или «принадлежащий». То есть Бэчой — это не просто «пастух», а «старший пастух» или «сын пастуха».

Если ваши предки носили эту фамилию, то, скорее всего, они были выходцами из молдавских или румынских земель, и их родоначальник имел отношение к овцеводству — был либо чабаном, либо управляющим на отгонном пастбище. Фамилия нечастая, но в России её можно встретить среди потомков переселенцев из Бессарабии конца XIX — начала XX века.