Фамилия Беджицкая — одна из тех, чья форма сразу указывает на географическое происхождение. Типичный суффикс -цк- (в женском роде -цк-ая) в русских, украинских и польских фамилиях почти всегда привязан к названию места. Беджицкая — это «та, что родом из Беджиц». Так мог называться населённый пункт: деревня, усадьба или местечко.

Корень Бедж- в славянских языках чаще всего связан с польским словом bedka (беда, бедствие) или с диалектным biedzić się (мучиться, бедствовать). Скорее всего, название села Беджице (или Беджица) возникло как прозвищное — «бедное место», «неурожайная земля». В польской ономастике фамилии на -цкий/-цкая — это классические шляхетские или крестьянские «топонимические» фамилии, которые давались по имени владения или месту жительства. В России и Беларуси такие фамилии часто получали выходцы из Речи Посполитой, переселившиеся на восток после разделов Польши.

Вторая, менее вероятная версия — связь с тюркским или балканским корнем. В турецком bey (господин, князь) даёт форму bej (бей), а суффикс -ицк- могла бы дать фамилию «княжеская». Но такое объяснение натянуто: для русского уха «Беджицкая» звучит как производное от «беда», и именно эта народная этимология здесь самая логичная.

Известных носителей фамилии в публичном поле почти нет — это редкая, штучная фамилия. Встречается в основном на западе России, в Беларуси и в восточной Польше. Если ваш предок носил фамилию Беджицкий (а вы носите её женскую форму), скорее всего, он был крестьянином или мелким шляхтичем из небольшого села, которое называлось Беджице или Беджица. Сама фамилия — прямой указатель на место, откуда пошёл род, и в этом её главная ценность для генеалогического поиска.