Фамилия Бегбашев — один из тех случаев, где разбор начинается не с корня, а с суффикса, который сразу выдаёт географию. Окончание -ев указывает на русскую модель образования фамилий от тюркских основ, но не на исконно славянское происхождение. Такие фамилии чаще всего встречаются у народов Поволжья, Северного Кавказа и у казаков, чьи предки имели тесные контакты с тюркским миром.

Основа фамилии — «Бегбаш». Это сложное слово из двух тюркских частей: «бег» (бек) — князь, господин, начальник, и «баш» — голова, глава. В прямом смысле «Бегбаш» можно перевести как «голова беков» или «старший бек». Скорее всего, так называли не просто начальника, а выборного или наследственного главу местной знати, старшину, который управлял группой родов или деревень. Прозвище могло закрепиться за человеком, который занимал такую должность, или за его потомком, которого в шутку или всерьёз величали «бегбашем».

Встречается и более бытовая версия: «бегбаш» могло быть прозвищем заносчивого, гордого человека, который вёл себя как «начальник над начальниками». Однако в ономастике принято опираться на первое, социальное значение, так как фамилии от титулов и должностей — массовое явление у тюркских народов (сравните с фамилиями Беков, Башаев, Бекбаев).

Вариант написания «Бегбашев» (через «е», а не «ё») и суффикс -ев, а не -ов, намекают на то, что основа могла заканчиваться на мягкий согласный или «ш» — это характерно для азербайджанских, кумыкских или ногайских говоров. В русских документах XIX века подобные фамилии фиксировали на слух, поэтому встречаются и формы «Бекбашев» или «Бикбашев», но «Бегбашев» — наиболее точная передача исходного звучания.

Сословно носители фамилии могли быть как из служилых татар или горских народов, так и из казачьей старшины. В списках терских и уральских казаков встречаются похожие прозвища, но конкретных документов о Бегбашевых в открытых источниках мало — фамилия редкая, не массовая. Это скорее всего говорит о локальном бытовании: в одном-двух аулах или станицах род дал фамилию, которая не разошлась широко. Если вы ищете свои корни, стоит проверить метрические книги Кубани, Дагестана и Оренбургской губернии — там тюркские «бегбаши» оседали чаще всего.