Фамилия Бекещенко образована по распространённой в украинской и южнорусской ономастике модели с суффиксом -енко. Этот суффикс в XVI–XVII веках обозначал потомка или малолетнего сына: Бекещенко — буквально «сын или ученик Бекеша». В основе фамилии лежит прозвище Бекеш, которое восходит к русскому слову «бекеш» — так называли сюртук, кафтанчик или чекменёк на меху. Слово пришло в русский язык из венгерского (békes), и в старой России бекеш носили как повседневную, так и праздничную одежду, особенно в холодное время года.

Скорее всего, первый носитель прозвища Бекеш занимался пошивом или продажей таких кафтанов. В среде ремесленников и торговцев прозвища по товару или инструменту были обычным делом: человека называли по тому, с чем он постоянно работал. Со временем прозвище закрепилось за родом и перешло в наследственную фамилию, полностью заменив прежнее личное имя как в быту, так и в официальных документах.

Интересно, что в отличие от более частых фамилий на -енко от имён (Иваненко, Петренко) или названий профессий (Коваленко, Шевченко), Бекещенко стоит особняком: её основа — не имя и не ремесло в чистом виде, а конкретный предмет одежды. Такие «вещные» прозвища встречаются реже, и они дают более узкую подсказку о занятиях предка. Если сравнивать с однокоренными фамилиями — Бекешев, Бекешин, — то форма на -енко сразу указывает на территорию: она типична для земель современной Украины и прилегающих областей России (Курская, Белгородская, Воронежская губернии), где суффикс -енко был главным способом образования фамилий у казаков и крестьян.