Фамилия Белощенко — характерный пример украинской фамилии, образованной по продуктивной модели с суффиксом -енко. Если вы её носитель, то ваши предки, скорее всего, были родом с Левобережной или Слободской Украины (территории современных Черниговской, Полтавской, Сумской, Харьковской областей). Суффикс -енко в украинской ономастике XVI–XVIII веков означал «маленький», «сын» или «ученик»: Белощенко — это буквально «сын (или потомок) Белоского».

Разберём основу. В фамилии два корня: бел- и ощ- (от «очи» — глаза). Основа «Белоокий» или «Белоок» — это древнее славянское прозвище, которое давали человеку со светлыми, ясными глазами, возможно, с голубой или серой радужкой. В древнерусском языке «око» — глаз, а «белый» часто означало не столько цвет, сколько блеск, яркость, чистоту. То есть Белоок — «светлоглазый». Со временем в разговорной речи сочетание «белоок» могло перейти в «Белощ-» из-за упрощения произношения (ср. «мягкий» — «мягче»). В украинских говорах переход «к» в «ч» перед гласным — явление обычное.

Сравните с однокоренными фамилиями: Белоокий (прямое сохранение прозвища), Белоочка, Белооченко. Белощенко стоит в том же ряду, но с более поздним патронимическим суффиксом. Встречается также вариант написания Белощенко (с одним «щ»), что не меняет сути — это всё та же фамилия от «белых очей».

Социально фамилия не элитарная. Белощенко — типичная фамилия казацкой старшины, мещан или крестьян, которые получили фамилию по индивидуальному признаку. В реестрах Войска Запорожского XVII века встречаются прозвища вроде Белоок, но сам патроним Белощенко фиксируется позже, в метрических книгах XIX века, преимущественно на территории бывшей Черниговской губернии.

В современной России фамилия редкая, встречается в основном на юге (Краснодарский край, Ростовская область) — следствие миграции украинского населения в XVIII–XIX веках. Если вы владеете украинским языком, то услышите в фамилии не «щ» как твёрдый звук, а мягкое «шч» — это выдаёт южное происхождение носителя.