Фамилия Беорежной — на самом деле редкий вариант написания более известной фамилии Бережной. Встречается она в основном из-за диалектного произношения: в некоторых южнорусских и украинских говорах «е» под ударением переходило в «ё» (или «о»), а на письме это закреплялось как «ео». Получается, что Беорежной — это фонетическая запись того, что в литературном языке звучало бы как Бережной.

Основа фамилии — прилагательное «бережной» (или «бережный»). В старину так называли человека, который жил на берегу реки, озера или моря. Но есть и вторая, не менее вероятная версия: «бережной» могло быть прозвищем осторожного, осмотрительного человека, того, кто «берёгся», то есть вёл себя аккуратно. В русских говорах слово «бережной» имело оба значения — и «прибрежный», и «осторожный».

Суффикс -ой (вместо привычного -ый или -ий) — типичная черта южнорусских фамилий. Такая модель встречается у фамилий, образованных от прилагательных: Толстой, Кривой, Бережной. В северных и центральных областях чаще говорили «Бережный», а на юге и в казачьих землях закрепилась форма «Бережной» (и её вариант Беорежной).

Социально фамилия не была привилегированной. Её носители — крестьяне, казаки, мещане, редко дворяне. В документах XVII–XVIII веков Бережные и Беорежные встречаются среди жителей южных уездов России, особенно в Черноземье и на Дону. Если ваш предок носил такую фамилию, он скорее всего был либо жителем побережья, либо человеком с характером — осмотрительным и хозяйственным.

Сравните с однокоренными фамилиями: Бережков (от «бережок» — маленький берег), Бережнов (с суффиксом -нов, указывающим на принадлежность), Бережной (с тем же корнем, но с другим суффиксом). Беорежной стоит особняком именно из-за редкого написания — это «живая» запись устной речи, которую приказные люди или писари зафиксировали на слух.