Фамилия Бэрбиеру — один из тех случаев, когда написание подсказывает географию лучше, чем корень. Она явно не исконно русская, а скорее румынская или молдавская. На это указывает окончание «-у», которое в румынском языке часто выступает в роли определённого артикля мужского рода, приросшего к фамилии. В русской традиции такие фамилии обычно не склоняются, и их часто записывают на слух, что и породило форму «Бэрбиеру» — с твёрдым «э» и двойным «р».

Основа фамилии восходит к слову bărbier — «цирюльник», «парикмахер» или, в более старом значении, «брадобрей» (от латинского barba — борода). Это ремесленная фамилия, аналогичная русским Бородин, Брадобреев или немецким Барт, Шерер. Предок носителя этой фамилии, скорее всего, был мастером, который брил, стриг и, возможно, занимался простейшими медицинскими процедурами — в те времена цирюльники нередко выполняли роль хирургов и зубных врачей.

Интересно, что в румынском языке слово bărbier закрепилось именно в значении парикмахера, а не просто «мужчины с бородой» (для этого есть bărbos). Поэтому фамилия Бэрбиеру — это прозвище по профессии, которое со временем перешло в наследственное имя. Подобные фамилии на «-у» очень характерны для исторической области Молдова (как румынской, так и современной Республики Молдова), а также встречаются у выходцев из Трансильвании. Если ваши предки носили эту фамилию, они почти наверняка были из этих земель, а их занятие было связано с бритьём и стрижкой.

В отличие от многих русских фамилий, у которых за долгую историю стёрлась связь с ремеслом, здесь всё прозрачно: Бэрбиеру — это «сын цирюльника» или просто «цирюльник». Никакой дворянской этимологии или редкого диалектного слова за ней не стоит, что делает её типичным и честным примером профессиональной фамилии в юго-восточной Европе.