Фамилия Бержаковский — один из тех примеров, где географическое имя становится родовым, но с уникальным суффиксальным оттенком. Если бы она оканчивалась на «-ов» или «-ин», мы бы искали предка по имени или прозвищу Бержак. Но суффикс «-ский» переводит фамилию в разряд дворянских или шляхетских — в Польше, Великом княжестве Литовском и на западе России такие фамилии часто означали владельческий статус: «тот, кто из Бержакова» или «владелец Бержакова».

Корень «Берж-» почти наверняка восходит к польскому или западнорусскому слову «brzeg» (берег) или его диалектным вариантам. В старой польской орфографии «rz» читается как твёрдое «ж» (сравните: «Rzeczpospolita» — «Жечпосполита»). Таким образом, Бержаковский — это человек «с берега» или «из прибрежного селения». Вторая версия, менее вероятная, связывает основу с личным именем Бержак (возможно, от Бернард или Бертольд через народное сокращение), но тогда фамилия скорее получила бы суффикс «-ович» или «-ов».

Обратите внимание на редкость модели: фамилии на «-жаковский» встречаются нечасто. Ближайшие аналоги — Бережковский (от «бережок») или Бржезовский (от «brzezina» — берёза). Бержаковский стоит особняком: он не связан с берёзой (как Берёзкин или Берёзовский) и не с «беречь» (как Бережной), а именно с береговой линией. Это мог быть топоним в Подляшье, на Волыни или в Галиции — регионах, где польская и украинская ономастика переплетаются.

Социальный контекст: в Российской империи фамилии на «-ский» давали не только дворянам, но и духовенству (семинарские фамилии). Однако Бержаковский — не искусственная семинарская фамилия (те обычно строили от латинских или греческих корней или от названий церковных праздников). Скорее всего, это потомок мелкой шляхты или однодворцев, чьё родовое гнездо называлось Бержаково или Бержаков. Точных данных о сословии нет — фамилия редкая и не попала в массовые справочники.

Итог: Бержаковский — западнорусская или польская фамилия, образованная от названия места у берега. Носитель мог быть шляхтичем или крестьянином из села с похожим названием. Если хотите узнать точнее — ищите предков в метрических книгах Гродненской, Волынской или Минской губерний XIX века: там фамилия встречается, хотя и небольшими гнёздами.